3.3.3. Описание алгоритма
3.3.3. Описание алгоритма и общая блок0схема вычислений
Для математического описания задачи используется система уравнений Макс-
велла, которая при учете размеров головы, свойств ткани мозга, биологических ис-
точников тока и конкретных требований к результатам измерения биопотенциалов
сводится к системе уравнений электрического поля стационарных токов. Рассмат-
ривая более упрощенный случай, когда голова представляется в виде однородного
неограниченного протяженного объемного проводника, в котором условно задают-
ся геометрические соотношения между источниками и областью измерения, мож-
но допустить, что потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:
где I — плотность источников тока- σ — электрическая проводимость мозга.
Решение уравнения (1) имеет вид:
где r(P,Q) — расстояние от точки (Р) измерения потенциала до точки (Q) облас-
ти источников V, по которым ведется интегрирование.
Разлагая в формуле (2) функцию I/r в ряд по сферическим гармоникам и остав-
ляя в полученном разложении только первые члены (что возможно, когда размеры
активной области, содержащей источники, малы по сравнению с расстоянием от ее
центра до точки измерения потенциалов), а также учитывая, что суммарный ток
биоэлектрических источников равен нулю, получаем следующие выражения для
потенциалов в точке измерения:
где (xi, yi, zi) — координаты точки измерения, i = 1, 2, 3……...N-
(x, y, z) — координаты центра активной области-
Р(Px, Py, Pz) — вектор дипольного момента, характеризующий интенсивность
и ориентацию источников в активной области-
N — число отводящих электродов.
Таким образом, для определения шести неизвестных параметров x, y, z и Px, Py,
Pz используется следующая система нелинейных уравнений:
где Ui — измеренный на поверхности биопотенциал, i = 1, 2, 3..…….N, точки рас-
положения электродов, включая и референтные (N >-6).
Для приближенного решения уравнения (4) применялся метод наименьших ква-
дратов. Минимизация проводилась методом покоординатного спуска или сопря-
женных градиентов (Химмельблау, 1975- Шуп, 1982). Сущность метода заключает-
ся в следующем: проводится простой перебор и сравнение измеренных и вычислен-
ных значений потенциала на основе дипольной модели при последовательном рас-
положении координат диполя в разных точках мозга. Такой перебор проводится,
пока величина ошибки измеренных и вычисленных значений потенциала станет
меньше некоторой заранее заданной величины. Для этого:
1) Берутся произвольные координаты диполя и для них вычисляются значения
потенциала в точках отведения (измерения).
2) Сравниваются вычисленные и измеренные значения потенциала, затем запо-
минается результат сравнения — функционал ошибки:
где i= 1, 2…...m- Uи(i) — измеренный потенциал в точке i;
Uв(i) — вычисленный потенциал в точке i.
3) Немного сдвигаются координаты диполя в каком-либо направлении и по но-
вым координатам снова вычисляются значения потенциала в точках измере-
ния, затем находится функционал ошибки, который сравнивается с предыду-
щим- если значение ошибки уменьшилось — изменяют координаты в том же
направлении, если увеличилось — изменяют направление на обратное и так
далее. Варьирование значений потенциала проводят по каждой координате
с постепенным уменьшением функционала ошибки. Такой метод минимиза-
ции называют методом покоординатного спуска.
Метод сопряженных градиентов состоит в том, что направление варьирования
проводят так, чтобы величина градиента была отрицательной (функция убывала)
и шаг варьирования зависел от величины градиента. Процедуру также продолжают
до тех пор, пока функционал ошибки не станет минимальным, тогда эти значения
координат и моментов принимают за координаты источника.
Число таких шагов (итераций), необходимых для минимизации ошибки, было
различным в зависимости от используемого алгоритма. При использовании внача-
ле метода покоординатного спуска число шагов составляло около 200. При гради-
ентном методе это число шагов обычно меньше и составляет порядка 30–50, в свя-
зи с чем градиентные методы чаще используются для минимизации.
Критерием сходимости к одной локальной области мозга является наличие
сходных координат при различных начальных приближениях и минимум функци-
онала ошибки.
Подробные формулы для вычисления потенциалов на поверхности скальпа при
сферической модели с учетом неоднородностей и алгоритмы оптимизации пред-
ставлены в работах Schneider (1972) и Watanabe, Sakai (1984).